Ja, här sitter man och bläddrar i formelsamlingen från gymnasiet. Det var verkligen tider det. Utan ansträngning och med nästan enbart nöje njöt man sig igenom matematik och fysik-kurserna på gymnasiet. Självklart var det svårt ibland. Men det otroliga utbyte man fått genom alla de funderingar och oändliga diskussionerna väger upp detta så mycket att jag vet inte vad.
Det är nästan så att jag måste ta fram en gammal mattebok från gymnasiet och prova om jag klarar av någon derivata och integral.
Haha. Då var det gjort (för er som läst eller läser matematik C eller senare är detta oldnews). Min första derivata sen universitetstiden. Det tog lite väl lång tid. Men ja, det får man kanske ta.
“Inuti en kon är en cylinder placerad som fuguren visar. Vilken är den största volym som cylindern kan ha?”
Till att börja med tar vi reda på vad som gäller för en cylinders volym.
$latex V_{cylinder} = pi r^2 h&s=2$
Problemet med den här formeln är att vi har två variabler höjden och radien. Men vi noterar snart att diametern och höjden hos konen är samma, detta gör att vi enkelt kan komma fram till en substitution för r.
$latex r = frac{24 – h}{2}&s=2$
Detta ger en ny funktion för volymen: $latex V = pi cdot ( frac{24 – h}{2} )^2 cdot h&s=2$ och som ni ser finns så beror volymen enbart på höjden i den här formeln.
Vad man gör sedan är att eventuellt förenkla funktionen vilket jag gjorde och fick följande:
$latex V = pi cdot ( 144h – 12h^2 + frac{h^2}{4} )&s=2$
För att hitta funktionens/volymens maximum deriverar jag kurvan (derivata ger kurvans lutning) och derivatan för V blir:
$latex frac{d}{dt}V = pi cdot ( h^2 – 32h + 192 )&s=2$
För att finna finna kurvans maximum så letar vi efter ställen på kruvan där lutningen är 0. Dvs där den varken lutar uppåt eller nedåt. Där kan man ju tänka sig att kurvan väntar i ett maximum eller minimum. Därför sätter vi derivatan till 0.
$latex pi cdot ( h^2 – 32h + 192 ) = 0 Rightarrow ( h^2 – 32h + 192 ) = 0&s=2$
$latex pi$ är här ovesäntligt eftersom när ( h2 – 32h + 192 ) är 0 så är även $latex pi cdot ( h^2 – 32h + 192 ) = 0 &s=2$
Här kan man använda sig av den gamla hederliga pq-formeln eller kvadratkomplettering för att lösa ekvationen. Man kommer hur som helst fram till att de båda rötterna är:
$latex r_{0} = 24&s=2$
$latex r_{1} = 8&s=2$
Sen är det ju dags att ta reda på vilken rot som är den rätta. (maximum). Jag gick på känsla och antog att 8 var den rätta lösningen. Detta testar man sedan genom att sätta in något lite större än 8 och något lite mindre än 8. Då ser man att före 8 är derivatan större än noll och efter 8 är den mindre än noll. Det betyder ju att funktionen ökar före 8 och minskar efter 8. Alltså måste funktionen ha ett MAXIUMUM vid 8.
Till sist är det bara att sätta in vår åtta i ekvationen för volymen: pi * ( 144 * 8 – 12 *82 + 83/4 ) vilket uträknat blir 512 pi vilket även är svaret på problemet.
För dig som är inbiten matematiker så är detta gammal skåpmat och inget nytt och för mig var det en enda lång nostalgitripp. Men för er andra så finns det säkert en hel det att fundera på här. Om det nu ens intresserar öht. Men hur som helst. Håll till godo.
Adjö..
edit: Jag får förresten be att få återkomma med en lite djupare förklaring på deriveringsteget i senare inlägg. Själva deriveringen utlämnas helt här. Detta var som sagt mest nostalgitripp och självterapi. Men jag lovar att beskriva teorierna bakom derivata lite mer genomgående i framtiden.
Tags: cylinder, derivata, gymnasiet, kon, matematik
Posted in misc | 1 Comment »
