Warning: Declaration of Bootstrap_Walker_Nav_Menu::start_lvl(&$output, $depth) should be compatible with Walker_Nav_Menu::start_lvl(&$output, $depth = 0, $args = Array) in /usr/local/www/sites/pean.org/wp-content/themes/stanleywp/functions/function-extras.php on line 61
matematik | www.pean.org

Kurser hit och dit

I morgon är det sista ansökningsdag till vårterminen vid sveriges högskolor och universitet.

Här sitter man. Funderar på vad man skall söka till vårterminen. Har inte fått någon information från skolan vad jag skall eller bör söka. Dels så finns inte mitt program längre, så det läggs inte så mycket tid på oss kvarvarande. Eftersläntare. Dels så går jag i trean och antas ta mer ansvar för mina studier, vill jag ha råd om mina val så får jag knalla upp till studievägledaren.

Så jag har suttit och grottat på http://www.uu.se ikväll och hittat lite intressanta kurser som jag tror jag kan ha nytta av och som förhoppningsvis är rätt intressanta också. Det roliga/tursamma är att jag valde fyra kurser och det blev exakt 30p, och dessutom så verkar det som att kurserna ligger jämnt fördelade över vårterminen. Ganska otroligt om man bara tar fyra kurser i högen som verkar intressanta. Jag är nöjd med livet och kurserna är som följer:

Elektromagnetisk fältteori
Komplex analys
Gravitation and cosmology
Geometri

Det blir nog spexigt värre. 

Adjö!

Mekanik och grejer.

Har inte lagt upp något skolrelaterat på mycket länge men har idag suttit och påtat ihop en slags extremt kondenserad version av mina anteckningar från kursen Analytisk Mekanik. 

Kursen handlar om Hamiltonsk mekanik och du kan läsa anteckningarna här: Analytisk Mekanik

Universitetsstudierna.

Hoho. Som jag pratade om tidigare så skulle jag i höst återuppta mina studier, nu jävlar.

På lördag (2007-08-25) flyttar jag till min aldeless egna fyra på undersköna student-flogsta. Lägenheten delar jag med två personer, dels min gamla skolkamrat mattias och dels Lisa som sökte rum på blocket.

Det kommer bli grymt roligt att återigen grotta ner sig i matematikens underbara värld. Dock så skrämmer fysiken mig lite, laborationer är inte min starkaste sida. Speciellt inte rapporten! 🙂

För de som vill följa mina studier kommer förhoppningsvis kunna göra det på  www.pean.org/uu/ 

Adjö.. 

Nostalgi.

Ja, här sitter man och bläddrar i formelsamlingen från gymnasiet. Det var verkligen tider det. Utan ansträngning och med nästan enbart nöje njöt man sig igenom matematik och fysik-kurserna på gymnasiet. Självklart var det svårt ibland. Men det otroliga utbyte man fått genom alla de funderingar och oändliga diskussionerna väger upp detta så mycket att jag vet inte vad.

Det är nästan så att jag måste ta fram en gammal mattebok från gymnasiet och prova om jag klarar av någon derivata och integral.

Haha. Då var det gjort (för er som läst eller läser matematik C eller senare är detta oldnews). Min första derivata sen universitetstiden. Det tog lite väl lång tid. Men ja, det får man kanske ta.

“Inuti en kon är en cylinder placerad som fuguren visar. Vilken är den största volym som cylindern kan ha?”

Till att börja med tar vi reda på vad som gäller för en cylinders volym.

$latex V_{cylinder} = pi r^2 h&s=2$

Problemet med den här formeln är att vi har två variabler höjden och radien. Men vi noterar snart att diametern och höjden hos konen är samma, detta gör att vi enkelt kan komma fram till en substitution för r.

$latex r = frac{24 – h}{2}&s=2$

Detta ger en ny funktion för volymen: $latex V = pi cdot ( frac{24 – h}{2} )^2 cdot h&s=2$ och som ni ser finns så beror volymen enbart på höjden i den här formeln.

Vad man gör sedan är att eventuellt förenkla funktionen vilket jag gjorde och fick följande:
$latex V = pi cdot ( 144h – 12h^2 + frac{h^2}{4} )&s=2$

För att hitta funktionens/volymens maximum deriverar jag kurvan (derivata ger kurvans lutning) och derivatan för V blir:

$latex frac{d}{dt}V = pi cdot ( h^2 – 32h + 192 )&s=2$

För att finna finna kurvans maximum så letar vi efter ställen på kruvan där lutningen är 0. Dvs där den varken lutar uppåt eller nedåt. Där kan man ju tänka sig att kurvan väntar i ett maximum eller minimum. Därför sätter vi derivatan till 0.

$latex pi cdot ( h^2 – 32h + 192 ) = 0 Rightarrow ( h^2 – 32h + 192 ) = 0&s=2$
$latex pi$ är här ovesäntligt eftersom när ( h2 – 32h + 192 ) är 0 så är även $latex pi cdot ( h^2 – 32h + 192 ) = 0 &s=2$

Här kan man använda sig av den gamla hederliga pq-formeln eller kvadratkomplettering för att lösa ekvationen. Man kommer hur som helst fram till att de båda rötterna är:

$latex r_{0} = 24&s=2$

$latex r_{1} = 8&s=2$

Sen är det ju dags att ta reda på vilken rot som är den rätta. (maximum). Jag gick på känsla och antog att 8 var den rätta lösningen. Detta testar man sedan genom att sätta in något lite större än 8 och något lite mindre än 8. Då ser man att före 8 är derivatan större än noll och efter 8 är den mindre än noll. Det betyder ju att funktionen ökar före 8 och minskar efter 8. Alltså måste funktionen ha ett MAXIUMUM vid 8.

Till sist är det bara att sätta in vår åtta i ekvationen för volymen: pi * ( 144 * 8 – 12 *82 + 83/4 ) vilket uträknat blir 512 pi vilket även är svaret på problemet.

För dig som är inbiten matematiker så är detta gammal skåpmat och inget nytt och för mig var det en enda lång nostalgitripp. Men för er andra så finns det säkert en hel det att fundera på här. Om det nu ens intresserar öht. Men hur som helst. Håll till godo.

Adjö..

edit: Jag får förresten be att få återkomma med en lite djupare förklaring på deriveringsteget i senare inlägg. Själva deriveringen utlämnas helt här. Detta var som sagt mest nostalgitripp och självterapi. Men jag lovar att beskriva teorierna bakom derivata lite mer genomgående i framtiden.

Matematikens under.

Som ni säkert redan vet så är det en väldigt stor del av dagens skolungdomar som ogillar eller i det närmaste hatar matematik. Varför det är så kan man ju spekulera i, men jag tror det har en hel del med hur ämnet framställs och hur ungdomarna ser på ämnet.

Det finns en lite kort anekdot om en ung matematikstudent som verkligen bejakade “the spirit of mathematics” eller vad man nu vill kalla det.

Det var nämligen så att en ung elev som väldigt snabbt blev klar med sin bok bad sin lärare om mer att göra, men läraren var inte speciellt engagerad och bad eleven att lägga ihop 1 + 2 + 3…. osv upp till 100. Ok, sade eleven och gick ut, men vände sedan direkt i dörren. -Det blir 5050. Självklart blev läraren väldigt imponerad och undrade hur eleven gått till väga. -Enkelt svarade eleven. -Man lägger ihop 1 + 99, 2 + 98 osv tills man kommer till 51 + 49. Då har man 4900 och sedan har man 50 och 100 kvar. 4900 + 50 + 100 blir 5050.

Vad jag vill säga med detta exempel är att matematik inte går ut på ändlöst räknande, utan istället komma på små finurliga lösningar som denna. Om fler skulle inspireras och vägledas med problem som detta så tror jag många skulle tycka det var mycket roligare. Det är för mycket sida upp och sida ner med exakt likadana tal som det är idag. De intressanta och givande talen finns oftast bara i mvg-delen och förbises av de flesta eleverna, just eftersom de “hatar” matematik.

Man kanske skall sadla om och börja författa läromedel. 🙂

Au revoir…

Tvåsidig ensida.


Ja, det är precis vad det är. Eller ja. Det beror ju på vad man menar, men möbiusbandet har ju en utsida och en insida, men samtidigt har det bara en sida, man är på utsidan och insidan samtidigt.

Du kan lätt testa detta själv genom att klippa ett pappersband som du sedan sätter ihop en cirkel. Nästan. När du för ihop ändarna roterar du först den ena sidan ett halvt varv så att det istället liknar en slags kringla och vips har du ditt eget möbiusband.

Såhär skulle ditt nytillverkade möbiusband kunna se ut.

En annan bild som kanske beskriver bandets geometri lite bättre är denna.

Om man tänker sig att man är ute och promenerar på en yta som denna så kommer man ju efter ett varv vara på motsatt sida av bandet, vilket i sin tur innebär att bandet faktiskt bara har en sida. Märkligt men sant.

Haha! Jag noterade precis att om man klipper isär ett Möbuisband på mitten så kan man ju tro att man skall få två Möbiusband. Så är inte fallet, istället får man ett långt band som inte alls är ett Möbuisband.

Jobbinlägget för dagen. Ikväll tänkte jag försöka skriva ihop något om universums topologi och lite om ändligt vs. oändligt.